Deribatuaren aplikazioak

- e = f(t) adierazpenak denborarekiko mugikor baten posizioa ematen badigu, v = f´(t)-k  une bakoitzean mugikor horren abiadura azaltzen digu.

- v = g(t)-k denborarekiko mugikor baten abiadura adierazten badu, a = g´(t) bere azelerazioa.

Orokorrean:  f(t) denborarekiko aldagai baten aldakuntza bada, f´(t) denborarekiko aldagai horren aldakuntzaren arintasuna da.

ARIKETA

Hurrengo eszenan ikusten duzun lerro zuria autobus baten mugimenduari dagokio. Autobusa geltokitik  abiadura areagotzen doa. Lerro turkesa, eta berdea, berandu iritsi eta korrika hartzen dutela autobusa,  bi bidaiariak dira. Urdina eta laranja lerroak, geltokitik autobusa atera denean 95m eta 96 metrotara hurrenez hurren dauden beste bi bidaiariak dira.

Mugimenduen ekuazioak

Autobusa: y = (4/225)t2
Turkesa bidaiaria: y = 0,535t – 3,745
Berdearena: y = 0,8t – 8
Urdinarena: y = (10/529)t2- (10/23)t + 9,5
Laranjarena: y = 9,6
Y espazioa da ( unitate bat 10m dira)  eta t denbora segundutan. (0,0) puntua autobusen geldiuneari dagokio.
Denbora parametroa aldatzen, ikus dezakezu bidaiarien eta autobusaren une bakoitzean posizioa.

 

Deribatuak, eguneroko era askotako arazoekin daukan zerikusia azpimarratzeko aurkezten ditugu ondoko buruketak.

OPTIMIZAZIO ARIKETAK

KAXA: 36zm-ko aldea duen bi kartoi karratuak ditugu. bakoitzari x aldeko ertz karratu bat kentzen diogu eta ertzak tolestatzen ditugu  bi kartoiak elkartu eta kaxa bat osatzeko. Zein balio izan behar du x-ek, kentzen dugun karratutxoren aldeak, kaxaren volumena maximoa izan dadin?

a parametroaren balioak  x-en balio posibleak dira. Funtzio parametroak  0 eta 1 balioak hartzen ditu. Puntu horia funtzio parametroa 0 bada, volumen funtzioaren gainean egongo da eta 1 bada, funtzio deribatuaren gainean.
Ariketa dm-tan egingo dugu, hobeto ikusi ahal izateko.
Bilatu eszena honetan zein da (0, 3,6) tartean, x-en balioa bolumena maximoa izan dadin; eta zein da bolumen funtzioaren balio maximoa hori.

Analitikoki:

Emaitza: Kaxaren bolumena ematen digun funtzioa V = x (3,6-x)2 da, bere izate eremua (0,36) izanik.

Emaitza: funtzioaren maximoa absolutua (0,36) tartean bilatu behar da.

Ezinbesteko baldintza.

v´(x) = 0; (36-x) (36-2x) = 0; x = 3,6 eta x= 1,2. Izate eremua (0,36) denez, balio digun emaitza bakarra x = 12 da. Orain ziurtatzeko maximoa dela bigarren deribatuan ordezkatuko dugu balio hori:

v´´= 6x – 144; v´´(12) = 6.12 – 144 = -72< 0 beraz, maximoa x = 12zm.

Eta bolumen maximoa V(12) = 6.912 zm3 da.

Lehen lortutako emaitzarekin konparatu.

 

HIRUKI LAUKIZUZENAK

Katetoen batura 10 zm-koa duten hiruki laukizuzen guztien artean, bilatu azalera maximoa duen hirukiaren dimentsioak.

Eszena honetan katetoen batura 10 duten hiruki laukizuzen guztiak azaltzen dira. Mugitu arratoiarekin B erpina eta baldintza bereko hiruki desberdinak lortu ahal izango dituzu. Bestalde, azalera funtzioa adierazia dago x katetoa aldagarritzat hartuta. B puntua mugitu besterik ez duzu buruketaren emaitza lortzeko. Zein da azalera funtzioaren izate eremua buruketa honetan?

Analitikoki: x oinarria bada, altuera 10-x izango da bien arteko batura 10 delako.

Emaitza: Azaleraren funtzioa: A = x (10-x)/2; izate eremua (0,10). Maximoa bilatzeko A´= 0 ; 5-x = 0; x = 5. Funtzioaren maximoa dela ziurtatzeko:

A´´(5) = -1 < 0 beraz, maximoa. Orduan hirukiaren oinarria eta altuera 5 zm-koak izango dira.

Konprobatu emaitza.

 

LAUKIZUZENAK

Perimetroa 12zm-koa duten laukizuzen guztien artean, zein da diagonalik txikiena duena?

Eszena honetan perímetro 12zm-koa diren laukizuzen guztiak adierazita daude. Mugitu arratoiarekin B erpina eta baldintza bereko laukizuzen desberdinak lortu ahal izango dituzu . Bestalde, diagonal funtzioa adierazia dago x diagonal aldagarritzat hartuta . B puntua mugitu besterik ez duzu buruketaren emaitza lortzeko. Zein da diagonal funtzioaren izate eremua?

Analitikoki :

Grafikoa. 2x+2y = 12; diagonalaren funtzioa d = izate eremua (0,6) izanik. Orduan minimoa bilatzeko d´= (4x-12)/ = 0 ; 4x-12 = 0; x = 3. Bigarren deribatuaren kalkulua astun xamarra denez, minimoa dela konprobatzeko 3-ren ondoan lehenengo deribatuaren ikurra ikertuko dugu: d´(3 - ) < 0 (diagonal funtzioa beherakorra), f´(3 + )> 0 (diagonal funtzioa gorakorra), beraz x= 3 minimoa da eta diagonalaren balioa d = 3 zm.